(x²+x+1)² - 4x² - 4x - 4 = -3 метод субституции
Для решения уравнения \((x²+x+1)² - 4x² - 4x - 4 = -3\) с помощью метода субституции, давайте шаг за шагом разберем этот процесс.
Преобразуем уравнение: Начнем с того, чтобы перенести все элементы на одну сторону уравнения: \[ (x²+x+1)² - 4x² - 4x - 4 + 3 = 0. \] Это можно упростить до: \[ (x²+x+1)² - 4x² - 4x - 1 = 0. \]
Сделаем подстановку: Обозначим \(y = x² + x + 1\). Таким образом, наше уравнение теперь выглядит как: \[ y² - 4x² - 4x - 1 = 0. \] Теперь нужно выразить \(x²\) и \(x\) в терминах \(y\). Мы знаем, что \(y = x² + x + 1\), так что: \[ x² = y - x - 1. \]
Подставим \(x²\) в уравнение: Теперь можем заменить \(x²\) в уравнении: \[ y² - 4(y - x - 1) - 4x - 1 = 0. \] Упростим это уравнение: \[ y² - 4y + 4x + 4 - 4x - 1 = 0, \] \[ y² - 4y + 3 = 0. \]
Решим квадратное уравнение: Теперь мы имеем квадратное уравнение: \[ y² - 4y + 3 = 0. \] Для решения можем воспользоваться формулой: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). Подставим значения: \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)² - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}, \] \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}. \] Это дает два значения: \[ y_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad y_2 = \frac{2}{2} = 1. \]
Вернемся к \(x\): Теперь подставим значения \(y\) обратно в уравнение \(y = x² + x + 1\).
Для \(y_1 = 3\): \[ x² + x + 1 = 3 \implies x² + x - 2 = 0. \] Решим это уравнение: \[ (x - 1)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = -2. \]
Для \(y_2 = 1\): \[ x² + x + 1 = 1 \implies x² + x = 0 \implies x(x + 1) = 0. \] Это дает: \[ x_3 = 0, x_4 = -1. \]
Итоговый ответ: Таким образом, у нас есть четыре решения: \[ x = 1, \quad x = -2, \quad x = 0, \quad x = -1. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше разъяснений, не стесняйтесь спрашивать!
