Решите уравнение: а) (x / x-2) - (8 / x+5) = 14 / (xˆ2 + 3x - 10)

Для решения уравнения

\[ \frac{x}{x-2} - \frac{8}{x+5} = \frac{14}{x^2 + 3x - 10} \]

начнем с того, что упростим правую часть уравнения. Сначала разложим знаменатель \(x^2 + 3x - 10\) на множители:

\[ x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5) \]

Теперь наше уравнение выглядит следующим образом:

\[ \frac{x}{x-2} - \frac{8}{x+5} = \frac{14}{(x-2)(x+5)} \]

Чтобы избавиться от дробей, перемножим все части уравнения на знаменатель \((x-2)(x+5)\):

\[ x(x + 5) - 8(x - 2) = 14 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ x^2 + 5x - 8x + 16 = 14 \]

Соберем подобные члены:

\[ x^2 - 3x + 16 = 14 \]

Переносим 14 влево:

\[ x^2 - 3x + 2 = 0 \]

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью выделения полного квадрата или применения формулы корней:

\[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]

Таким образом, получаем два корня:

\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = 2 \]

Однако нужно проверить, не вызывает ли один из корней деление на ноль в исходном уравнении. Подставим найденные корни в сборные части уравнения:

• Для \(x = 1\):

  • \((1 - 2)\) не равен нулю,
  • \((1 + 5)\) не равен нулю.

• Для \(x = 2\):

  • \((2 - 2) = 0\). Это приводит ко второй дроби ко нулю, следовательно, \(x = 2\) не подходит.

Таким образом, единственный подходящий корень:

\[ x = 1 \]

Ответ: \(x = 1\).