В прямоугольный треугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см
Чтобы решить задачу, сначала вспомним, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности \( r \) можно выразить через периметр \( P \) и площадь \( S \) следующим образом:
\[ r = \frac{S}{P}, \]
где \( S \) – площадь треугольника, а \( P \) – периметр.
Часть а) Гипотенуза равна 26 см, r = 4 см
- Найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно также вычислить как:
\[ S = \frac{a \cdot b}{2}, \]
где \( a \) и \( b \) – катеты треугольника.
- Сначала выразим периметр \( P \):
\[ P = a + b + c, \] где \( c \) – гипотенуза.
В нашем случае гипотенуза \( c = 26 \) см, и \( r = 4 \) см.
Учитывая, что из формулы радиуса вписанной окружности можем выразить периметр:
\[ r = \frac{S}{P} \implies P = \frac{S}{r} \implies S = P \cdot r. \]
- Зная гипотенузу \( c \), можем записать:
\[ P = a + b + 26. \]
- Кроме того, используя теорему Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \implies 26^2 = a^2 + b^2 \implies 676 = a^2 + b^2. \]
- Подставляем площадь:
\[ S = \frac{1}{2}ab. \]
- Мы знаем также, что \( S = P \cdot 4 \). Подставим:
\[ \frac{1}{2}ab = (a + b + 26) \cdot 4. \]
Теперь у нас есть система уравнений, но упростим её. Мы знаем, что:
\[ P = a + b + 26, \] и подставим это обратно в формулу площади, выражение чуть сложное, но при решении мы можем использовать подстановки. Но мы можем раскладывать \( x + y \) на \( a + b \) для удобства.
Для быстроты расчетов можно использовать практическое решение, у нас есть формула для периметра \( P = c + 2r \): \[ P = 26 + 2 \times 4 = 26 + 8 = 34 \text{ см.} \]
Часть б) Точка касания делит гипотензу на отрезки 5 см и 12 см
- Определим длины катетов. Пусть \( a = 5 \) см, \( b = 12 \) см. Гипотенуза \( c \) тогда будет:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см.} \]
- Теперь можем вычислить периметр:
\[ P = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30 \text{ см.} \]
Итак, ответы на обе части:
а) Периметр треугольника равен \( 34 \) см.
б) Периметр треугольника равен \( 30 \) см.
