3х/х+2 + х+2/х-4 = 36/х^2 - 2х-8
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{3x}{x+2} + \frac{x+2}{x-4} = \frac{36}{x^2 - 2x - 8}. \]
Для начала упростим правую часть уравнения. Обратите внимание, что \( x^2 - 2x - 8 \) можно факторизовать:
\[ x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2). \]
Это означает, что:
\[ \frac{36}{x^2 - 2x - 8} = \frac{36}{(x-4)(x+2)}. \]
Теперь у нас есть уравнение:
\[ \frac{3x}{x+2} + \frac{x+2}{x-4} = \frac{36}{(x-4)(x+2)}. \]
Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны уравнения на \((x-4)(x+2)\):
\[ 3x(x-4) + (x+2)(x+2) = 36. \]
Раскроем скобки:
- \( 3x(x-4) = 3x^2 - 12x \);
- \( (x+2)(x+2) = x^2 + 4x + 4 \).
Подставим это в уравнение:
\[ 3x^2 - 12x + x^2 + 4x + 4 = 36. \]
Теперь соберем все члены на одной стороне уравнения:
\[ 3x^2 + x^2 - 12x + 4x + 4 - 36 = 0, \]
что упрощается до:
\[ 4x^2 - 8x - 32 = 0. \]
Давайте упростим уравнение, разделив на 4:
\[ x^2 - 2x - 8 = 0. \]
Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 1, b = -2, c = -8 \). Подставим значения:
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}. \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}. \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}. \]
\[ x = \frac{2 \pm 6}{2}. \]
Таким образом, у нас есть два решения:
- \( x = \frac{8}{2} = 4 \);
- \( x = \frac{-4}{2} = -2 \).
Однако помните, что мы должны проверить, не делает ли какое-либо из решений знаменатели равными нулю.
- Для \( x = 4 \): знаменатель \( x - 4 = 0 \), это значение недопустимо.
- Для \( x = -2 \): знаменатель \( x + 2 = 0 \), это значение также недопустимо.
Поэтому у данного уравнения нет допустимых решений.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения, пожалуйста, дайте знать!
