Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?

Для решения данной задачи обозначим количество 70% раствора как \( x \) кг, а количество 60% раствора как \( y \) кг.

Сначала запишем уравнение для общего количества полученной смеси. После добавления 2 кг чистой воды, у нас общее количество раствора будет:

\[ x + y + 2 = \text{Общее количество раствора} \]

Затем запишем уравнение для содержания кислоты. В 70% растворе содержание кислоты составит \( 0.7x \), в 60% растворе — \( 0.6y \), а в 50% растворе — \( 0.5(x + y + 2) \). Уравнение для содержания кислоты будет выглядеть так:

\[ 0.7x + 0.6y = 0.5(x + y + 2) \]

Теперь упростим это уравнение:

\[ 0.7x + 0.6y = 0.5x + 0.5y + 1 \]

Переносим всё на одну сторону:

\[ 0.7x + 0.6y - 0.5x - 0.5y - 1 = 0 \]

Упрощаем:

\[ 0.2x + 0.1y - 1 = 0 \]

Умножаем всё на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[ 2x + y - 10 = 0 \quad (1) \]

Теперь переходим ко второму случаю, когда вместо 2 кг воды добавляется 2 кг 90% раствора. Тогда содержание кислоты в 90% растворе составит \( 0.9 \cdot 2 = 1.8 \) кг, и общее количество раствора будет:

\[ x + y + 2 = \text{Общее количество раствора} \]

Уравнение для содержания кислоты будет выглядеть так:

\[ 0.7x + 0.6y + 1.8 = 0.7(x + y + 2) \]

Теперь упростим это уравнение:

\[ 0.7x + 0.6y + 1.8 = 0.7x + 0.7y + 1.4 \]

Посмотрим на одноименные члены и перенесем их:

\[ 0.6y + 1.8 - 0.7y - 1.4 = 0 \]

Упрощаем:

\[ -0.1y + 0.4 = 0 \]

Отсюда:

\[ 0.1y = 0.4 \quad \Rightarrow \quad y = 4 \quad (2) \]

Теперь подставим значение \( y \) во уравнение (1):

\[ 2x + 4 - 10 = 0 \]

Упрощаем:

\[ 2x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]

Таким образом, количество 70% раствора, использованного для получения смеси, составляет \( 3 \) кг.