Используя приём представления дробей в виде разности вычислите 1/3+1/15+1/35+1/63+1/99
Чтобы вычислить сумму дробей \( \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \frac{1}{99} \) с использованием приёма представления дробей в виде разности, давайте сначала представим каждую дробь в удобном для сложения виде.
Давайте рассмотрим каждую дробь и найдем общий знаменатель. Для дробей \( \frac{1}{3} \), \( \frac{1}{15} \), \( \frac{1}{35} \), \( \frac{1}{63} \) и \( \frac{1}{99} \) давайте выясним наименьшее общее кратное (НОК).
Знаменатели:
- \( 3 = 3^1 \)
- \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)
- \( 35 = 5^1 \times 7^1 \)
- \( 63 = 3^2 \times 7^1 \)
- \( 99 = 3^2 \times 11^1 \)
Теперь найдем НОК:
- Для \( 3 \): максимальная степень \( 3^2 \) из \( 63 \) и \( 99 \)
- Для \( 5 \): максимальная степень \( 5^1 \) из \( 15 \) и \( 35 \)
- Для \( 7 \): максимальная степень \( 7^1 \) из \( 35 \) и \( 63 \)
- Для \( 11 \): максимальная степень \( 11^1 \) только из \( 99 \)
Таким образом,
\[
\text{НОК} = 3^2 \times 5^1 \times 7^1 \times 11^1 = 9 \times 5 \times 7 \times 11 = 3465.
\]
Теперь преобразуем каждую дробь:
- \( \frac{1}{3} = \frac{1155}{3465} \) (умножили числитель и знаменатель на \( 1155 \))
- \( \frac{1}{15} = \frac{231}{3465} \) (умножили на \( 231 \))
- \( \frac{1}{35} = \frac{99}{3465} \) (умножили на \( 99 \))
- \( \frac{1}{63} = \frac{55}{3465} \) (умножили на \( 55 \))
- \( \frac{1}{99} = \frac{35}{3465} \) (умножили на \( 35 \))
Теперь можем сложить дроби: \[ \frac{1155 + 231 + 99 + 55 + 35}{3465} = \frac{1575}{3465}. \]
Теперь упростим дробь \( \frac{1575}{3465} \). НОК также может делиться общей величиной:
- Давайте найдем НОД \( 1575 \) и \( 3465 \). Находим делители и получаем НОД равным \( 315 \).
Теперь делим и числитель, и знаменатель на \( 315 \): \[ \frac{1575 \div 315}{3465 \div 315} = \frac{5}{11}. \]
Таким образом, итоговый ответ: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \frac{1}{63} + \frac{1}{99} = \frac{5}{11}. \]
