Вычисляте косинус угла между прямыми AB и CD если A (7;-8;15) , B(8;-7;13), c(2;-3;5), d(-1;0;4) ;

Чтобы вычислить косинус угла между прямыми AB и CD, нужно воспользоваться формулой:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} \]

Где \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) – это векторы, направленные вдоль прямых AB и CD соответственно.

1. Сначала найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\). \[ \vec{AB} = B - A = (8 - 7; -7 + 8; 13 - 15) = (1; 1; -2) \] \[ \vec{CD} = D - C = (-1 - 2; 0 + 3; 4 - 5) = (-3; 3; -1) \]

2. Теперь найдем скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{CD}\): \[ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1)(-3) + (1)(3) + (-2)(-1) = -3 + 3 + 2 = 2 \]

3. Далее найдем длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\): \[ |\vec{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \]

4. Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{19}} = \frac{2}{\sqrt{114}} \]

5. В конце можно упростить выражение для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{114}} = \frac{2\sqrt{114}}{114} = \frac{\sqrt{114}}{57} \]

Таким образом, косинус угла между прямыми AB и CD равен \(\frac{\sqrt{114}}{57}\).