периметр прямоугольника равен 102,а его диагональ равна 39.найди длину и ширину прямоугольника
Чтобы найти длину и ширину прямоугольника, давайте обозначим их как \( a \) и \( b \). Из условия задачи у нас есть:
- Периметр прямоугольника: \( P = 2a + 2b = 102 \).
- Длина диагонали: \( d = \sqrt{a^2 + b^2} = 39 \).
Начнем с первого уравнения:
\[ 2a + 2b = 102 \]
Разделим обе стороны на 2:
\[ a + b = 51 \quad (1) \]
Теперь выразим \( b \) через \( a \):
\[ b = 51 - a \quad (2) \]
Теперь подставим выражение (2) во второе уравнение:
\[ \sqrt{a^2 + (51 - a)^2} = 39 \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ a^2 + (51 - a)^2 = 39^2 \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (51^2 - 102a + a^2) = 1521 \]
Соберем все в одну сторону:
\[ 2a^2 - 102a + 2601 - 1521 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ 2a^2 - 102a + 1080 = 0 \]
Теперь разделим все коэффициенты на 2:
\[ a^2 - 51a + 540 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Дискриминант \( D \):
\[ D = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 540 = 2601 - 2160 = 441 \]
Теперь найдём корни:
\[ a = \frac{-(-51) \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 1} \]
\[ a = \frac{51 \pm 21}{2} \]
Рассмотрим два случая:
- \( a = \frac{72}{2} = 36 \)
- \( a = \frac{30}{2} = 15 \)
Теперь подставим найденные значения \( a \) в уравнение (2), чтобы найти \( b \).
Если \( a = 36 \):
\[ b = 51 - 36 = 15 \]
Если \( a = 15 \):
\[ b = 51 - 15 = 36 \]
Таким образом, длина и ширина прямоугольника равны 36 и 15.
Ответ: Длина прямоугольника 36, ширина 15.
