( 3× - 8) ( 3× +8 ) < 6× -40

Чтобы решить неравенство \((3x - 8)(3x + 8) < 6x - 40\), начнем с его упрощения.

1. Раскроем скобки слева: \[ (3x - 8)(3x + 8) = 9x^2 - 64 \] Таким образом, неравенство можно записать как: \[ 9x^2 - 64 < 6x - 40 \]

2. Переносим все элементы в одну сторону: \[ 9x^2 - 6x - 64 + 40 < 0 \] Это упрощается до: \[ 9x^2 - 6x - 24 < 0 \]

3. Теперь будем решать квадратное неравенство \(9x^2 - 6x - 24 = 0\) методом дискриминанта. Сначала находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-24) \] \[ D = 36 + 864 = 900 \]

4. Находим корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 30}{18} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 30}{18} = -\frac{4}{3} \]

5. Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -\frac{4}{3}\). Теперь нужно определить, на каких интервалах неравенство \(9x^2 - 6x - 24 < 0\) выполняется. Для этого изучим знак квадратичной функции в интервалах:

   • \((-∞, -\frac{4}{3})\)
   • \([- \frac{4}{3}, 2]\)
   • \((2, +∞)\)

6. Выберем тестовые точки:

   • Для интервала \((-∞, -\frac{4}{3})\), например, \(x = -2\): \[ 9(-2)^2 - 6(-2) - 24 = 36 + 12 - 24 = 24 > 0 \]
   • Для интервала \([- \frac{4}{3}, 2]\), например, \(x = 0\): \[ 9(0)^2 - 6(0) - 24 = -24 < 0 \]
   • Для интервала \((2, +∞)\), например, \(x = 3\): \[ 9(3)^2 - 6(3) - 24 = 81 - 18 - 24 = 39 > 0 \]

7. Мы нашли, что неравенство выполняется в интервале: \[-\frac{4}{3} < x < 2\]

Таким образом, решением неравенства \((3x - 8)(3x + 8) < 6x - 40\) является: \[ x \in \left(-\frac{4}{3}, 2\right) \]