В понедельник новый директор приступил к своей должности. Найти ошибку

В данном предложении ошибка заключается в использовании слова "новый". Если речь идет о директоре, который только что начал свою работу, корректнее использовать слово "новый" или "новоназначенный". Предложение можно переписать так:

"В понедельник новый директор приступил к своим обязанностям."

После слова "должности" обычно не требуется употребление "свои", но в целом фраза может быть исправлена.