Радиус-вектор материальной точки зависит от вре- мени по закону vec r (t)=2t i -4 j + (1 + t ^ 2) k . Найти величину перемещения материальной точки за время от t=3 с до t = 5c .

Чтобы найти величину перемещения материальной точки за время от \( t = 3 \) до \( t = 5 \) секунд, нам сначала нужно определить радиус-вектор в эти моменты времени.

Дано, что радиус-вектор точки описывается следующим уравнением:

\[ \vec{r}(t) = 2t \vec{i} - 4 \vec{j} + (1 + t^2) \vec{k} \]

Теперь вычислим радиус-векторы в указанные моменты:

1. Для \( t = 3 \):

\[ \vec{r}(3) = 2 \cdot 3 \vec{i} - 4 \vec{j} + (1 + 3^2) \vec{k} = 6 \vec{i} - 4 \vec{j} + (1 + 9) \vec{k} = 6 \vec{i} - 4 \vec{j} + 10 \vec{k} \]

2. Для \( t = 5 \):

\[ \vec{r}(5) = 2 \cdot 5 \vec{i} - 4 \vec{j} + (1 + 5^2) \vec{k} = 10 \vec{i} - 4 \vec{j} + (1 + 25) \vec{k} = 10 \vec{i} - 4 \vec{j} + 26 \vec{k} \]

Теперь можем найти перемещение \( \Delta \vec{r} \), которое равно разности радиус-векторов в этих двух точках времени:

\[ \Delta \vec{r} = \vec{r}(5) - \vec{r}(3) \]

Подставляем найденные значения радиус-векторов:

\[ \Delta \vec{r} = (10 \vec{i} - 4 \vec{j} + 26 \vec{k}) - (6 \vec{i} - 4 \vec{j} + 10 \vec{k}) \]

Теперь упрощаем:

\[ \Delta \vec{r} = (10 - 6) \vec{i} + (-4 + 4) \vec{j} + (26 - 10) \vec{k} \] \[ \Delta \vec{r} = 4 \vec{i} + 0 \vec{j} + 16 \vec{k} \] \[ \Delta \vec{r} = 4 \vec{i} + 16 \vec{k} \]

Теперь найдем величину перемещения \( |\Delta \vec{r}| \):

\[ |\Delta \vec{r}| = \sqrt{(4)^2 + (0)^2 + (16)^2} = \sqrt{16 + 0 + 256} = \sqrt{272} = 4\sqrt{17} \]

Таким образом, величина перемещения материальной точки за время от \( t = 3 \) до \( t = 5 \) секунд составляет \( 4\sqrt{17} \) единиц длины.