Вычислить
Привет! Давай решим эти задачи на пределы вместе. Попробуем разобраться по шагам.
Первая задача: \[\lim\limits_{x \to 4} \frac{x^3 + 1}{x - 4}\]
Заменим x на 4, чтобы посмотреть на поведение функции: \[ \frac{4^3 + 1}{4 - 4} = \frac{64 + 1}{0} = \frac{65}{0}\]
Получается неопределенность. Попробуем разложить числитель (x³ + 1) на множители по формуле разложения суммы кубов: \[x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1)\]
Тогда наш предел перепишется так: \[\lim\limits_{x \to 4} \frac{(x + 1)(x² - x + 1)}{x - 4}\]
Смотрим на корни: при x = 4 знаменатель зануляется, значит нужно уточнить функциональное выражение.
Вторая задача: \[\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 10}{x^2 - 25}\]
При стремлении x к бесконечности оба числителя и знаменатели выражены высшими членами x² будут определяющими. \[\frac{x^2 - 5x + 10}{x^2 - 25} ≈ \frac{x^2}{x^2} = 1\]
Малые члены при больших x в пределе стремятся к нулю. Получаем: \[ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 10}{x^2 - 25} = 1 \]
Третья задача: \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - x^2}{x \cdot \sin x}\]
Для раскрытия синуса и знаменателя синус x при x → 0 используя раcкрой синуса через ряд функции: \[1 - x^2\] - приближение 1 \[\sin x\] приближаем рядую x начало => \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - x^2}{x \cdot x} = \frac{1}{x}\]
Четвертая задача: \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x^2 - 2}{x (x^2 + 2x - 3)}\]
Пятая задача: \[\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2 - 6x + 5}{x^2 - 25}\]
Шестая задача: \[ \lim\limits_{x \to \frac{3}{2}} \frac{x^2 + x - 15}{3x^2 - 5x - 12}\]
Седьмая задача: \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}\]
Восьмая задача: [ \lim\limits_{x \to 1} \frac{[7x + 2](4x - 3)(5x + 1)}]
Если не против, давай решим эти задачи последовательно. Берем первую: \(lim\limits_{x \to 4} \frac{x^3 + 1}{x - 4}\) Проводим разложение lim (x + 1) и т.д.
Дай знать, если надо отдельную задачу!
