Решите систему неравенств {х-4больше 0 х^2-2 х-15меньше0
Для решения системы неравенств:
Первое неравенство:
\( x - 4 > 0 \)
Это неравенство означает, что \( x > 4 \).Второе неравенство:
\( x^2 - 2x - 15 < 0 \)
Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 2x - 15 = 0 \) с помощью дискриминанта:
Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \).
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2} = 5 \) и
\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \).Теперь, чтобы определить знаки в интервалах между корнями, рассмотрим значения \( x \) в трех интервалах: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 5) \) и \( (5, +\infty) \).
Для \( x < -3 \), например, \( x = -4 \):
\( (-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0 \).Для \( -3 < x < 5 \), например, \( x = 0 \):
\( 0^2 - 2(0) - 15 = -15 < 0 \).Для \( x > 5 \), например, \( x = 6 \):
\( 6^2 - 2(6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0 \).
Таким образом, \( x^2 - 2x - 15 < 0 \) при \( -3 < x < 5 \).
Объединение условий:
Мы нашли, что \( x > 4 \) из первого неравенства и \( -3 < x < 5 \) из второго.Соединяя эти два условия, получаем, что: \( 4 < x < 5 \).
Таким образом, решение системы неравенств — это интервал \( (4, 5) \).
