Разложите на множетели x³-4x²!4x-16

Чтобы разложить многочлен \( x^3 - 4x^2 + 4x - 16 \) на множители, сначала будем искать корни этого кубического уравнения.

Попробуем использовать метод подбора для нахождения рациональных корней. Мы можем проверить значение \( x = 2 \):

\[ 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 16 = 8 - 16 + 8 - 16 = -16 \quad (\text{не корень}) \]

Теперь попробуем \( x = 4 \):

\[ 4^3 - 4 \cdot 4^2 + 4 \cdot 4 - 16 = 64 - 64 + 16 - 16 = 0 \quad (\text{корень}) \]

Теперь, зная, что \( x = 4 \) является корнем, мы можем выполнить деление многочлена на \( x - 4 \) с помощью деления столбиком или синтетического деления.

Выполним деление:

\[ x^3 - 4x^2 + 4x - 16 : (x - 4) \]

1. Разделим \( x^3 \) на \( x \): получаем \( x^2 \).
2. Умножим \( x^2 \) на \( (x - 4) \): \( x^3 - 4x^2 \).
3. Вычтем: \((x^3 - 4x^2) - (x^3 - 4x^2) = 0\).
4. Спустим следующий член \( 4x \): остается \( 4x - 16 \).
5. Разделим \( 4x \) на \( x \): получаем \( 4 \).
6. Умножим \( 4 \) на \( (x - 4) \): \( 4x - 16 \).
7. Вычтем: \( (4x - 16) - (4x - 16) = 0 \).

Таким образом, результатом деления является \( x^2 + 4 \).

Теперь можем записать многочлен в факторизованной форме:

\[ x^3 - 4x^2 + 4x - 16 = (x - 4)(x^2 + 4) \]

\( x^2 + 4 \) нельзя разложить на множители над полем действительных чисел, так как корни этого уравнения будут комплексные.

Итак, окончательное разложение на множители:

\[ x^3 - 4x^2 + 4x - 16 = (x - 4)(x^2 + 4) \]

Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!