Решите задачу с помощью дробно рационального уравнение турист проплыл на лодке 3км по течению 2км против течения реки 30минут найти скорость лодки в стоЯчей воде если скорость течения реки 2км/ч
Для решения задачи начнем с обозначения переменных:
- Пусть \( v_b \) – скорость лодки в стоячей воде (в км/ч).
- Скорость течения реки \( v_t = 2 \) км/ч.
Определим время движения по течению:
Лодка проплыла 3 км по течению. При этом, скорость лодки по течению равна сумме скорости лодки в стоячей воде и скорости течения реки:
\[ v_{down} = v_b + v_t = v_b + 2 \]
Время \( t_1 \), затраченное на путь по течению, можно найти по формуле:
\[ t_1 = \frac{S_1}{V_1} = \frac{3}{v_b + 2} \]
Определим время движения против течения:
Лодка проплыла 2 км против течения. В этом случае скорость равна разности скорости лодки и скорости течения:
\[ v_{up} = v_b - v_t = v_b - 2 \]
Время \( t_2 \), затраченное на путь против течения, будет:
\[ t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{2}{v_b - 2} \]
Составим уравнение для общего времени:
По условию задачи известно, что общее время, затраченное на оба пути, составляет 30 минут, что эквивалентно \( \frac{1}{2} \) часа:
\[ t_1 + t_2 = \frac{1}{2} \]
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):
\[ \frac{3}{v_b + 2} + \frac{2}{v_b - 2} = \frac{1}{2} \]
Умножим все уравнение на 2 и на общий знаменатель \((v_b + 2)(v_b - 2)\), чтобы избавиться от дробей:
\[ 2 \cdot 3(v_b - 2) + 2 \cdot 2(v_b + 2) = (v_b + 2)(v_b - 2) \]
Перепишем уравнение:
\[ 6(v_b - 2) + 4(v_b + 2) = v_b^2 - 4 \]
Раскроем скобки:
\[ 6v_b - 12 + 4v_b + 8 = v_b^2 - 4 \]
Упростим:
\[ 10v_b - 4 = v_b^2 - 4 \]
Переносим все на одну сторону:
\[ v_b^2 - 10v_b = 0 \]
Решим квадратное уравнение:
Факторизуем:
\[ v_b(v_b - 10) = 0 \]
Получаем два решения:
\[ v_b = 0 \quad \text{или} \quad v_b = 10 \]
Поскольку скорость лодки не может быть равной 0, имеем:
\[ v_b = 10 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет 10 км/ч. Если будут вопросы по другим задачам, не стесняйтесь спрашивать!
