Lim(√(х+13) - 2×√(х+1))/х^2-9 где х стремится к 3

Чтобы решить предел \( \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1}}{x^2 - 9} \), начнем с подстановки значения \( x = 3 \) в выражение.

1. Подставим \( x = 3 \): \[ \sqrt{3+13} - 2\sqrt{3+1} = \sqrt{16} - 2\sqrt{4} = 4 - 4 = 0 \] А в знаменателе: \[ 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0 \] Поскольку у нас получился неопределённый вид \(\frac{0}{0}\), потребуется дальнейшее упрощение.

2. Чтобы решить эту проблему, можно воспользоваться разложением по формуле. Запишем:

   \[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]

3. Теперь упростим числитель. Посмотрим на выражение \( \sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1} \) и применим сопряжение: \[ \sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1} = \frac{(\sqrt{x+13} - 2\sqrt{x+1})(\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1}} = \frac{(x + 13) - 4(x + 1)}{\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1}} = \frac{x + 13 - 4x - 4}{\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1}} \] \[ = \frac{-3x + 9}{\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1}} = \frac{-3(x - 3)}{\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1}} \]

4. Теперь подставим это в предел: \[ \lim_{x \to 3} \frac{-3(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)(\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1})} \] Мы можем сократить \( (x-3) \): \[ \lim_{x \to 3} \frac{-3}{(x + 3)(\sqrt{x+13} + 2\sqrt{x+1})} \]

5. Теперь подставим \( x = 3 \) в оставшееся выражение: \[ = \frac{-3}{(3 + 3)(\sqrt{3 + 13} + 2\sqrt{3 + 1})} = \frac{-3}{6(4 + 4)} = \frac{-3}{6 \cdot 8} = \frac{-3}{48} = \frac{-1}{16} \]

Таким образом, предел равен \(\frac{-1}{16}\).