Колесо, вращаясь равноускоренно, через время t = 1 мин по-сле начала вращения приобретает частоту n = 720 об/мин. Найти угловоеускорение колеса и число оборотов N колеса за это время.
Чтобы найти угловое ускорение колеса и число оборотов за время \( t = 1 \) мин (или 60 секунд), можем воспользоваться следующими формулами из раздела физики, связанного с вращением.
- Поиск углового ускорения (\( \alpha \)):
Частота оборотов \( n \) задается в оборотах в минуту (об/мин). Для решения задачи нам нужно перевести частоту в рад/с, так как угловое ускорение измеряется в рад/с²:
\[ n = 720 \, \text{об/мин} = \frac{720}{60} \, \text{об/с} = 12 \, \text{об/с} \]
Каждый оборот соответствует \( 2\pi \) радиан, так что:
\[ \omega = n \cdot 2\pi = 12 \cdot 2\pi \, \text{рад/с} = 24\pi \, \text{рад/с} \]
Теперь, зная начальную угловую скорость (\( \omega_0 = 0 \), так как колеса начинают вращение из состояния покоя) и конечную угловую скорость (\( \omega = 24\pi \, \text{рад/с} \)), можем найти угловое ускорение \( \alpha \) по формуле:
\[ \omega = \omega_0 + \alpha t \]
Подставляем известные значения:
\[ 24\pi = 0 + \alpha \cdot 60 \]
Отсюда получаем:
\[ \alpha = \frac{24\pi}{60} = \frac{2\pi}{5} \, \text{рад/с}^2 \]
- Поиск числа оборотов (\( N \)):
Число оборотов может быть найдено с помощью формулы для углового перемещения (\( \theta \)) в равномерно ускоренном движении:
\[ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \]
Подставляем значения:
\[ \theta = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{5} \cdot (60)^2 = \frac{2\pi}{5} \cdot 1800 = \frac{3600\pi}{5} = 720\pi \, \text{рад} \]
Теперь переведем угловое перемещение в числа оборотов \( N \):
\[ N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{720\pi}{2\pi} = 360 \]
Таким образом, мы получили:
- Угловое ускорение колеса \( \alpha = \frac{2\pi}{5} \, \text{рад/с}^2 \).
- Число оборотов за время \( t = 1 \) мин \( N = 360 \) оборотов.
