Смешав 41-процентный и 63-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 49-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного…
Смешав 41-процентный и 63-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 49-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 54-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 41-процентного раствора использовали для получения смеси?
Для решения этой задачи введём обозначения. Пусть \( x \) — это количество килограммов 41-процентного раствора, а \( y \) — количество килограммов 63-процентного раствора.
Сначала рассмотрим первый случай, когда добавляют 10 кг чистой воды. Смешиваем растворы:
- Суммарная масса раствора: \( x + y + 10 \) кг.
- Содержание кислоты:
- В 41-процентном растворе: \( 0.41x \) кг кислоты.
- В 63-процентном растворе: \( 0.63y \) кг кислоты.
- Общее количество кислоты в смеси: \( 0.41x + 0.63y \) кг.
Теперь составим уравнение для 49-процентного раствора:
\[ \frac{0.41x + 0.63y}{x + y + 10} = 0.49 \]
Умножим обе стороны на \( x + y + 10 \):
\[ 0.41x + 0.63y = 0.49(x + y + 10) \]
Раскроем скобки:
\[ 0.41x + 0.63y = 0.49x + 0.49y + 4.9 \]
Переносим все слагаемые в одну сторону:
\[ 0.41x + 0.63y - 0.49x - 0.49y - 4.9 = 0 \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ -0.08x + 0.14y - 4.9 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ 8x - 14y + 49 = 0 \quad (1) \]
Теперь рассмотрим второй случай, когда вместо воды добавляют 10 кг 50-процентного раствора:
В этом случае масса раствора составит: \( x + y + 10 + 5 = x + y + 15 \) кг (так как содержание 50% означает, что в 10 кг раствора 5 кг кислоты).
Содержание кислоты в этой смеси:
\[ 0.41x + 0.63y + 5 \]
Составим уравнение для 54-процентного раствора:
\[ \frac{0.41x + 0.63y + 5}{x + y + 15} = 0.54 \]
Умножаем обе стороны на \( x + y + 15 \):
\[ 0.41x + 0.63y + 5 = 0.54(x + y + 15) \]
Раскрываем скобки:
\[ 0.41x + 0.63y + 5 = 0.54x + 0.54y + 8.1 \]
Переносим все слагаемые:
\[ 0.41x + 0.63y - 0.54x - 0.54y + 5 - 8.1 = 0 \]
Соберем подобные:
\[ -0.13x + 0.09y - 3.1 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ 13x - 9y + 31 = 0 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 8x - 14y + 49 = 0 \)
- \( 13x - 9y + 31 = 0 \)
Решим эту систему. Из первого уравнения выразим \( y \):
\[ 14y = 8x + 49 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{8x + 49}{14} \]
Подставим \( y \) во второе уравнение:
\[ 13x - 9\left(\frac{8x + 49}{14}\right) + 31 = 0 \]
Умножим на 14, чтобы избавиться от дробей:
\[ 182x - 9(8x + 49) + 434 = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 182x - 72x - 441 + 434 = 0 \]
Соберём подобные члены:
\[ 110x - 7 = 0 \]
Теперь найдем \( x \):
\[ 110x = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{110} \approx 0.0636\, \text{кг} \]
Теперь подставим значение \( x \) в одно из уравнений, чтобы найти \( y \):
\[ y = \frac{8 \cdot \frac{7}{110} + 49}{14} = \frac{\frac{56}{110} + 49}{14} \]
Упростим:
\[ y = \frac{\frac{56 + 5390}{110}}{14} = \frac{5446}{1540} \approx 3.55\, \text{кг} \]
Итак, мы нашли значения \( x \) и \( y \). При этом, вы можете выразить \( x \) в процентном содержании раствора.
Таким образом, количество 41-процентного раствора составляет примерно \( 0.0636 \) кг.
