Баржа прошло по течению реки 48км и повернув обратно прошла ещё 42км, затратив на весь путь 5 часов. Найти скорость собственную км/ч если скорость реки 5км/ч
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- \( v \) — собственная скорость баржи (в км/ч).
- Скорость реки — 5 км/ч.
Когда баржа движется по течению, её скорость будет равна \( v + 5 \) км/ч, а против течения — \( v - 5 \) км/ч.
Рассчитаем время, потраченное на каждый участок пути. Для этого воспользуемся формулой времени: \[ t = \frac{s}{v} \] где \( s \) — расстояние, а \( v \) — скорость.
Время, затраченное на движение по течению (48 км): \[ t_1 = \frac{48}{v + 5} \]
Время, затраченное на движение против течения (42 км): \[ t_2 = \frac{42}{v - 5} \]
Общее время пути равно 5 часов, поэтому: \[ t_1 + t_2 = 5 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{48}{v + 5} + \frac{42}{v - 5} = 5 \]
Умножим обе стороны уравнения на \( (v + 5)(v - 5) \) для устранения знаменателей: \[ 48(v - 5) + 42(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5) \]
Раскроем скобки: \[ 48v - 240 + 42v + 210 = 5(v^2 - 25) \] \[ 90v - 30 = 5v^2 - 125 \]
Приведём всё к одному уравнению: \[ 5v^2 - 90v - 95 = 0 \] Умножим на -1: \[ -5v^2 + 90v + 95 = 0 \] или \[ 5v^2 - 90v - 95 = 0 \]
Теперь применим формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-90)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-95) = 8100 + 1900 = 10000 \]
Находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{90 \pm 100}{10} \]
Вычислим корни:
- \( v_1 = \frac{190}{10} = 19 \)
- \( v_2 = \frac{-10}{10} = -1 \) (отрицательное значение не подходит)
Таким образом, собственная скорость баржи равна 19 км/ч.
