Доказать справедливость неравенства ch²x-sh²x=1

Чтобы доказать справедливость неравенства \( \cosh^2x - \sinh^2x = 1 \), воспользуемся определениями гиперболических функций.

Гиперболические функции определяются как:

\[ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \] \[ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \]

Теперь найдем \( \cosh^2 x \) и \( \sinh^2 x \):

\[ \cosh^2 x = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2 = \frac{(e^x + e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} \]

\[ \sinh^2 x = \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2 = \frac{(e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} \]

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

\[ \cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} \]

Вычтем:

\[ \cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} \]

Упрощаем:

\[ \cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{4}{4} = 1 \]

Таким образом, мы получаем, что \( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \), что и требовалось доказать.

Неравенство справедливо для всех \( x \) в области определения гиперболических функций.