x^2+y^2=25 xy=12

Давайте решим систему уравнений, состоящую из двух уравнений:

1. \(x^2 + y^2 = 25\)
2. \(xy = 12\)

Первое уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 5. Второе уравнение говорит нам, что произведение переменных \(x\) и \(y\) равно 12.

Для решения этой системы мы можем воспользоваться методом подстановки. Начнем с того, что выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения:

\[ y = \frac{12}{x} \]

Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{12}{x}\right)^2 = 25 \]

Это преобразуется в следующее уравнение:

\[ x^2 + \frac{144}{x^2} = 25 \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \(x^2\), чтобы избавиться от дроби:

\[ x^4 - 25x^2 + 144 = 0 \]

Теперь введем новую переменную \(z = x^2\). Тогда уравнение преобразуется в квадратное уравнение:

\[ z^2 - 25z + 144 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 \pm 7}{2} \]

Это дает нам два значения для \(z\):

1. \(z_1 = \frac{32}{2} = 16\)
2. \(z_2 = \frac{18}{2} = 9\)

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

1. Если \(z_1 = x^2 = 16\), то \(x = 4\) или \(x = -4\).
2. Если \(z_2 = x^2 = 9\), то \(x = 3\) или \(x = -3\).

Теперь найдем соответствующие значения для \(y\) при каждом найденном \(x\):

1. Для \(x = 4\): \[ y = \frac{12}{4} = 3 \] Таким образом, одна из пар (4, 3).

2. Для \(x = -4\): \[ y = \frac{12}{-4} = -3 \] Таким образом, вторая пара (-4, -3).

3. Для \(x = 3\): \[ y = \frac{12}{3} = 4 \] Третья пара (3, 4).

4. Для \(x = -3\): \[ y = \frac{12}{-3} = -4 \] Четвертая пара (-3, -4).

Таким образом, у нас есть четыре решения: \((4, 3)\), \((-4, -3)\), \((3, 4)\), и \((-3, -4)\).