Розв'яжіть рівняння: 4х⁴ - 9x² + 2=0. У відповідь написати добуток коренів

Давайте решим уравнение \( 4x^4 - 9x^2 + 2 = 0 \).

Для начала, заметим, что это уравнение можно решить, сделав замену переменной. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение трансформируется в:

\[ 4y^2 - 9y + 2 = 0. \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 4 \), \( b = -9 \), \( c = 2 \).

Подставим значения в формулу:

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49. \]

Дискриминант положителен, что означает, что у нас есть два различных корня.

Теперь найдем корни \( y \) с помощью формулы:

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ y_1 = \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2, \]

\[ y_2 = \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}. \]

Теперь, вернемся к переменной \( x \):

1. \( y_1 = 2 \) даёт \( x^2 = 2 \), откуда \( x = \sqrt{2} \) или \( x = -\sqrt{2} \).
2. \( y_2 = \frac{1}{4} \) даёт \( x^2 = \frac{1}{4} \), откуда \( x = \frac{1}{2} \) или \( x = -\frac{1}{2} \).

Таким образом, у нас есть четыре корня: \( \sqrt{2}, -\sqrt{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \).

Теперь представим ответ в виде произведения корней уравнения. Произведение корней уравнения можно выразить как:

\[ (\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right). \]

Теперь посчитаем:

1. \( \sqrt{2} \cdot -\sqrt{2} = -2 \).
2. \( \frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \).

Теперь умножим:

\[ -2 \cdot -\frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, добуток коренів уравнения \( 4x^4 - 9x^2 + 2 = 0 \) равен \( \frac{1}{2} \).