Найди скалярное произведение векторов, если их модули равны  24 24 и  68 68, а синус тупого угла между ними равен  15 17 17 15 ​ .

Для нахождения скалярного произведения векторов \( \vec{A} \) и \( \vec{B} \), мы можем воспользоваться формулой:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos(\theta) \]

где \( \theta \) — угол между векторами, а \( |\vec{A}| \) и \( |\vec{B}| \) — модули векторов.

Сначала используем известное значение синуса угла \( \theta \): \[ \sin(\theta) = \frac{15}{17} \]

Для нахождения косинуса угла, можем воспользоваться основным тригонометрическим соотношением:

\[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \]

Сначала найдем \( \sin^2(\theta) \): \[ \sin^2(\theta) = \left(\frac{15}{17}\right)^2 = \frac{225}{289} \]

Теперь найдем \( \cos^2(\theta) \): \[ \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289} \]

Следовательно, \( \cos(\theta) \) будет: \[ \cos(\theta) = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17} \]

Теперь мы можем найти скалярное произведение: \[ |\vec{A}| = 24, \quad |\vec{B}| = 68 \]

Теперь подставим все известные значения в формулу для скалярного произведения:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 24 \cdot 68 \cdot \frac{8}{17} \]

Сначала посчитаем произведение модулей: \[ 24 \cdot 68 = 1632 \]

Теперь умножим на \( \frac{8}{17} \): \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 1632 \cdot \frac{8}{17} = \frac{13056}{17} = 768 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов равно \( 768 \).