материальная точка движется по окружности, радиусом 3м.Чему равны путь и модуль перемещëнная через 1/6 оборота?
Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберёмся с понятиями, которые нам понадобятся.
Длина окружности вычисляется по формуле: \( C = 2\pi r \), где \( r \) — радиус окружности. В нашем случае радиус равен 3 метра:
\[ C = 2\pi \cdot 3 \, \text{м} = 6\pi \, \text{м}. \]
Путь — это расстояние, пройденное материальной точкой. Если точка движется по окружности и делает \( \frac{1}{6} \) оборота, то путь равен:
\[ S = \frac{1}{6} \cdot C = \frac{1}{6} \cdot 6\pi \, \text{м} = \pi \, \text{м}. \]
Перемещение — это вектор, соединяющий начальную и конечную точки движения. Если точка сделала \( \frac{1}{6} \) оборота, это значит, что она переместилась по дуге окружности на 60 градусов. Чтобы найти модуль перемещения, надо знать расположение начальной и конечной точки.
На круге с центром в начале построим оси координат. Начальная точка, скажем, будет в точке (3, 0). После \( \frac{1}{6} \) оборота точка переместится на координаты:
- Начальная точка: (3, 0)
- Конечная точка: \(\left(3 \cdot \cos \frac{\pi}{3}, 3 \cdot \sin \frac{\pi}{3}\right) = \left(3 \cdot \frac{1}{2}, 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\).
Теперь найдем модуль перемещения, который равен длине отрезка между начальной и конечной точками:
\[ \Delta x = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}, \quad \Delta y = \frac{3\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{3\sqrt{3}}{2}. \]
Длина перемещения вычисляется по формуле:
\[ d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3 \, \text{м}. \]
Таким образом, путь, пройдённый материальной точкой через \( \frac{1}{6} \) оборота, составляет \( \pi \, \text{м} \), а модуль перемещения равен \( 3 \, \text{м} \).
