Найти область определения и множество значений функции У равно корень квадратный из 18 синус Х минус 9

Чтобы найти область определения и множество значений функции \( y = \sqrt{18 \sin(x) - 9} \), давайте разберем это шаг за шагом.

Область определения

Область определения функции содержит все значения \( x \), для которых выражение внутри квадратного корня не отрицательное, так как квадратный корень из отрицательного числа не определен в пределах действительных чисел. Это приводит нас к неравенству: \[ 18 \sin(x) - 9 \geq 0. \]

Решим это неравенство:

1. Переносим -9 на другую сторону: \[ 18 \sin(x) \geq 9. \]

2. Делим обе стороны на 18: \[ \sin(x) \geq \frac{1}{2}. \]

Теперь найдем, при каких значениях \( x \) справедливо это неравенство. Зная, что \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) при углах \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) для \( k \in \mathbb{Z} \), можно выяснить, что:

• Наша задача — найти промежутки, где \( \sin(x) \) больше или равно \( \frac{1}{2} \).
• Это происходит в интервалах: \[ x \in [\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi] \] для любого целого \( k \).

Множество значений

Теперь найдем множество значений \( y \).

1. Когда \( \sin(x) = \frac{1}{2} \), \( y = \sqrt{18 \cdot \frac{1}{2} - 9} = \sqrt{0} = 0 \).
2. Когда \( \sin(x) = 1 \), максимальное значение синуса, \( y = \sqrt{18 \cdot 1 - 9} = \sqrt{9} = 3 \).

Таким образом, \( y \) принимает значения от 0 до 3, то есть: \[ y \in [0, 3]. \]

Итог

• Область определения: \( x \in [\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{5\pi}{6} + 2k\pi], \, k \in \mathbb{Z} \).
• Множество значений: \( y \in [0, 3]. \)

Если возникнут дополнительные вопросы или потребуется пояснение, не стесняйтесь спрашивать!