Найти tgx, если sinx =1/√26 и x принадлежит (0, 5pi/pi)

Чтобы найти \(\tan x\) при данном \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{26}}\) и условии, что \(x\) принадлежит интервалу \((0, \frac{5\pi}{4})\), воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Известно, что \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Найдем \(\cos x\): \[ \sin^2 x = \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{1}{26} \] Подставим в тождество: \[ \frac{1}{26} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{1}{26} = \frac{26}{26} - \frac{1}{26} = \frac{25}{26} \] Поэтому: \[ \cos x = \pm \sqrt{\frac{25}{26}} = \pm \frac{5}{\sqrt{26}} \]

2. Теперь определим знак \(\cos x\) в интервале \((0, \frac{5\pi}{4})\). Так как \(\frac{5\pi}{4}\) находится во втором квадранте, где косинус отрицательна, получаем: \[ \cos x = -\frac{5}{\sqrt{26}} \]

3. Теперь можем найти \(\tan x\): \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{26}}}{-\frac{5}{\sqrt{26}}} = -\frac{1}{5} \]

Таким образом, значение \(\tan x\) равно \(-\frac{1}{5}\).