Вторая труба наполняет резервуар на 6 минут быстрее чем первая. Обе трубы заполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполнит этот резервуар одна первая труба
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим время, которое требуется первой трубе для заполнения резервуара, как \( x \) минут. Тогда вторая труба заполнит резервуар на 6 минут быстрее, то есть за \( x - 6 \) минут.
Согласно условию задачи, обе трубы вместе заполняют резервуар за 4 минуты. Мы можем использовать формулу работы, которая говорит, что работа, выполненная трубами, равна их совместной работе.
Работа первой трубы за 1 минуту будет равна \( \frac{1}{x} \), а работа второй трубы за 1 минуту — \( \frac{1}{x - 6} \).
Если обе трубы работают вместе, их общая работа за 1 минуту будет:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 6} = \frac{1}{4} \]
Теперь найдем общий знаменатель и упростим уравнение. Общий знаменатель будет \( x(x - 6) \):
\[ \frac{x - 6 + x}{x(x - 6)} = \frac{1}{4} \]
Упрощаем это уравнение:
\[ \frac{2x - 6}{x(x - 6)} = \frac{1}{4} \]
Теперь перекрестно перемножим:
\[ 4(2x - 6) = x(x - 6) \]
Раскроем скобки:
\[ 8x - 24 = x^2 - 6x \]
Переносим все в одну сторону:
\[ x^2 - 6x - 8x + 24 = 0 \]
Это упростится до:
\[ x^2 - 14x + 24 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100 \]
Корни уравнения можно найти по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 10}{2} \]
Получаем два корня:
- \( x_1 = \frac{24}{2} = 12 \)
- \( x_2 = \frac{4}{2} = 2 \)
Поскольку первая труба не может заполнять резервуар за 2 минуты (это будет быстрее, чем вторая труба), выбранный корень — \( x = 12 \) минут.
Таким образом, первая труба наполнит резервуар за 12 минут.
