Дана трехзвенная замкнутая ломаная ABC. Точки M,K,N - середины ее звеньев AB, BC и AC. Точки Р, Е, G - середины отрезков MB, KC и AN. Найдите длину ломаной ABC, если : AP+BE+CG = 108 см.

Рассмотрим заданную трехзвенную замкнутую ломаную ABC и обозначим длины её звеньев: пусть \( AB = c \), \( BC = a \) и \( AC = b \).

Точки M, K, N — середины звеньев. Значит:

• \( M \) делит отрезок \( AB \) пополам, так что \( AM = MB = \frac{c}{2} \).
• \( K \) делит отрезок \( BC \), и \( BK = KC = \frac{a}{2} \).
• \( N \) делит отрезок \( AC \), поэтому \( AN = NC = \frac{b}{2} \).

Теперь рассматриваем точки P, E и G:

• \( P \) — середина отрезка \( MB \), значит \( MP = PB = \frac{MB}{2} = \frac{c}{4} \).
• \( E \) — середина отрезка \( KC \), тогда \( KE = EC = \frac{KC}{2} = \frac{a}{4} \).
• \( G \) — середина отрезка \( AN \), значит \( AG = GN = \frac{AN}{2} = \frac{b}{4} \).

Теперь найдем суммы отрезков \( AP, BE, CG \):

1. Длина \( AP = AM + MP = \frac{c}{2} + \frac{c}{4} = \frac{2c}{4} + \frac{c}{4} = \frac{3c}{4} \).
2. Длина \( BE = BK + KE = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{2a}{4} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4} \).
3. Длина \( CG = CN + AG = \frac{b}{2} + \frac{b}{4} = \frac{2b}{4} + \frac{b}{4} = \frac{3b}{4} \).

Теперь подставим эти выражения в уравнение, данное в задаче: \[ AP + BE + CG = \frac{3c}{4} + \frac{3a}{4} + \frac{3b}{4} = \frac{3(c + a + b)}{4} = 108 \text{ см.} \]

Теперь найдем длину ломаной ABC: \[ c + a + b = \frac{108 \times 4}{3} = 144 \text{ см.} \]

Таким образом, длина ломаной ABC равна \( 144 \) см.