(x-8)(x+9)≥0

Чтобы решить неравенство \((x-8)(x+9) \geq 0\), начнем с нахождения нулевых точек, при которых произведение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю:

1. \(x - 8 = 0\) ⇒ \(x = 8\)
2. \(x + 9 = 0\) ⇒ \(x = -9\)

Теперь у нас есть точки \(x = -9\) и \(x = 8\). Эти точки делят числовую прямую на три интервала:

1. \( (-\infty, -9) \)
2. \( [-9, 8] \)
3. \( (8, +\infty) \)

Теперь проверим знак произведения \((x-8)(x+9)\) на каждом из этих интервалов.

1. Интервал \( (-\infty, -9) \): Выберем, например, точку \(x = -10\): \[( -10 - 8)( -10 + 9) = (-18)(-1) = 18\] (положительный)

2. Интервал \( [-9, 8] \): Выберем точку \(x = 0\): \[( 0 - 8)( 0 + 9) = (-8)(9) = -72\] (отрицательный)

3. Интервал \( (8, +\infty) \): Выберем, например, точку \(x = 9\): \[( 9 - 8)( 9 + 9) = (1)(18) = 18\] (положительный)

Теперь подытожим результаты:

• На интервале \( (-\infty, -9) \) произведение положительно.
• На интервале \( [-9, 8] \) произведение отрицательно.
• На интервале \( (8, +\infty) \) произведение положительно.

Неравенство \((x-8)(x+9) \geq 0\) включает в себя точки, где произведение положительное или равно нулю. Точки \(x = -9\) и \(x = 8\) включены, поскольку неравенство допускает равенство.

Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -9] \cup [8, +\infty) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!