Побудуйте графік функції f (x) = –x2 – 6x – 5. Користуючись графіком, знайдіть: 1) область значень функції; 2) проміжок зростання функції; 3) множину розв’язків нерівності f (x) >…

Для построения графика функции \( f(x) = -x^2 - 6x - 5 \), давайте сначала преобразуем ее в стандартную форму.

1. Найдем вершину параболы. Эта функция является квадратичной и открыта вниз (так как коэффициент перед \( x^2 \) отрицательный). Вершина параболы находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \) и \( b = -6 \): \[ x = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = -\frac{6}{-2} = 3. \] Подставим это значение обратно в функцию, чтобы найти координату \( y \): \[ f(3) = -3^2 - 6 \cdot 3 - 5 = -9 - 18 - 5 = -32. \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (3, -32) \).

2. Построим график. Учитывая, что парабола открыта вниз и ее вершина находится в точке \( (3, -32) \), мы можем нарисовать график, который будет симметричен относительно вертикальной линии, проходящей через вершину.

Теперь давайте приступим к решению.

1) Область значений функции

Поскольку парабола открыта вниз, максимальное значение мы нашли — это значение вершины \( f(3) = -32 \). Таким образом, функция будет принимать все значения, которые меньше или равны –32: \[ \text{Область значений} \, f(x) = (-\infty, -32]. \]

2) Промежок роста функции

Функция будет убывать на всем интервале, поскольку вершина параболы находится на \( x = 3 \). При \( x < 3 \) функция растет, а при \( x > 3 \) — убывает. Таким образом, промежок роста: \[ \text{Промежок роста} \, f(x) = (-\infty, 3]. \]

3) Множество решений неравенства \( f(x) > 0 \)

Для поиска решений неравенства \( f(x) > 0 \) найдем корни уравнения \( f(x) = 0 \): \[ -x^2 - 6x - 5 = 0. \] Чтобы решить это уравнение, можем использовать дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 36 - 20 = 16. \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 4}{-2} = -5, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 4}{-2} = -1. \] Функция \( f(x) \) будет больше нуля между этими корнями. Таким образом, множество решений неравенства \( f(x) > 0 \): \[ x \in (-5, -1). \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется уточнение, не стесняйтесь спрашивать!