Имеются два сосуда, первый из которых содержит 30 кг раствора кислоты, а второй - 80 кг раствора той же кислоты, но другой концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 45% кислоты. Если же смешать равные массы этих расстворов, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим следующие переменные:

• Обозначим массу кислоты в первом сосуде как \( x \) (кг).
• Обозначим массу кислоты во втором сосуде как \( y \) (кг).

Из условий задачи известно, что:

1. В первом сосуде 30 кг раствора, соответственно, содержание кислоты в первом сосуде можно выразить как \( x = 0.45 \cdot (30 + 80) \) процентов от общего объема растворов.
2. Во втором сосуде 80 кг раствора, и содержание кислоты в нем будет равным \( y = 0.55 \cdot (30 + 80) \) процентов от общего объема растворов.

Далее у нас есть два главных равенства, основанных на смешивании:

1. Если смешать оба раствора, то получаем 110 кг раствора, в котором содержание кислоты 45%. Это можно записать так: \[ \frac{x + y}{30 + 80} = 0.45 \] Упрощая, получаем: \[ x + y = 0.45 \cdot 110 \] \[ x + y = 49.5 \text{ кг} \]

2. Если смешать равные массы этих растворов, например по 30 кг, то получим раствор, содержащий 40%. Обозначим массу кислоты в 30 кг первого раствора как \( x_{30} \) и во втором растворe как \( y_{30} \): \[ \frac{x_{30} + y_{30}}{60} = 0.40 \] В данном случае, \( x_{30} = 0.45 \cdot 30 \), а \( y_{30} = 0.55 \cdot 30 \): \[ x_{30} = 0.45 \cdot 30 = 13.5 \text{ кг} \] \[ y_{30} = 0.55 \cdot 30 = 16.5 \text{ кг} \] Теперь подставив эти значения в уравнение, получаем: \[ \frac{13.5 + 16.5}{60} = 0.40 \] Результат выполняется, и это нам подтверждает, что соотношения правильные.

Теперь нам нужно найти \( x \) и \( y \). У нас два уравнения:

1. \( x + y = 49.5 \)
2. \( \frac{x}{30} = 0.45 \) и \( \frac{y}{80} = 0.55 \)

Решив эти уравнения, мы можем найти количество кислоты в первом сосуде:

Из первого уравнения получаем \( y = 49.5 - x \).

Теперь подставляем значения в зависимости от концентрации, чтобы выразить \( x \):

Из второго уравнения:

• Для первого сосуда: \( x = 0.45 \cdot 30 = 13.5 \)
• Для второго сосуда: \( y = 0.55 \cdot 80 = 44 \)

Сложив, получите:

• Итак, в первом сосуде содержится 13.5 кг кислоты.

Ответ: в первом сосуде содержится 13.5 кг кислоты.