Найдите область определения функции у=√3x^2-5x+2/x^2-4

Чтобы найти область определения функции \( y = \frac{\sqrt{3x^2 - 5x + 2}}{x^2 - 4} \), нужно учесть два основных условия:

1. Корень должен быть определен: для того чтобы выражение под корнем \( \sqrt{3x^2 - 5x + 2} \) было определено, необходимо, чтобы \( 3x^2 - 5x + 2 \geq 0 \).

2. Знаменатель не должен равняться нулю: для дроби \( \frac{1}{x^2 - 4} \) необходимо, чтобы \( x^2 - 4 \neq 0 \).

Теперь рассмотрим каждое из условий подробнее.

1. Условие для корня:

Решим неравенство \( 3x^2 - 5x + 2 \geq 0 \).

Сначала найдем корни квадратного уравнения \( 3x^2 - 5x + 2 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1. \]

Корни уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 3} \Rightarrow x_1 = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]

Теперь мы знаем, что корни находятся в точках \( x = \frac{2}{3} \) и \( x = 1 \). Чтобы определить знаки на интервалах, можем воспользоваться тестовыми значениями:

• Для \( x < \frac{2}{3} \) (например, \( x = 0 \)): \( 3(0)^2 - 5(0) + 2 = 2 \) (положительное).
• Для \( \frac{2}{3} < x < 1 \) (например, \( x = 0.8 \)): \( 3(0.8)^2 - 5(0.8) + 2 < 0 \) (отрицательное).
• Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( 3(2)^2 - 5(2) + 2 = 2 \) (положительное).

Следовательно, неравенство \( 3x^2 - 5x + 2 \geq 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, \frac{2}{3}] \) и \( [1, +\infty) \).

2. Условие для знаменателя:

Решим уравнение \( x^2 - 4 = 0 \).

Корни:

\[ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2. \]

Таким образом, \( x \neq -2 \) и \( x \neq 2 \).

Объединение условий:

Теперь объединим найденные интервалы с учетом условий. Область определения функции получается:

\[ D = (-\infty, \frac{2}{3}] \cup [1, 2) \cup (2, +\infty). \]

Таким образом, область определения функции \( y = \frac{\sqrt{3x^2 - 5x + 2}}{x^2 - 4} \) — это объединение указанных интервалов.