пришить неравенство дробь в числителе x на выражение x² - 16 знаменатель x² - 9 это равно меньше или равно нулю

Чтобы решить неравенство \(\frac{x}{x^2 - 16} \leq 0\), начнем с анализа выражения.

1. Определение знаменателя: Знаменатель \(x^2 - 16\) можно разложить на множители: \[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) \] Это выражение равно нулю, когда \(x = 4\) или \(x = -4\).

2. Определение области значений: Также рассмотрим, что знаменатель не может равняться нулю, поэтому \(x \neq 4\) и \(x \neq -4\).

3. Сигнум выражения: Теперь давайте исследуем знак дроби \(\frac{x}{(x - 4)(x + 4)}\):

   • Рассмотрим промежутки:
     • \(x < -4\)
     • \(-4 < x < 0\)
     • \(0 < x < 4\)
     • \(x > 4\)

4. Анализ знаков:

   • Для \(x < -4\), например, при \(x = -5\): \[ \frac{-5}{(-5 - 4)(-5 + 4)} = \frac{-5}{(-9)(-1)} = \frac{-5}{9} < 0 \]
   • Для \(-4 < x < 0\), например, при \(x = -1\): \[ \frac{-1}{(-1 - 4)(-1 + 4)} = \frac{-1}{(-5)(3)} = \frac{-1}{-15} > 0 \]
   • Для \(0 < x < 4\), например, при \(x = 1\): \[ \frac{1}{(1 - 4)(1 + 4)} = \frac{1}{(-3)(5)} = \frac{1}{-15} < 0 \]
   • Для \(x > 4\), например, при \(x = 5\): \[ \frac{5}{(5 - 4)(5 + 4)} = \frac{5}{(1)(9)} = \frac{5}{9} > 0 \]

5. Объединение результатов: Мы установили следующее:

   • \(\frac{x}{(x - 4)(x + 4)} < 0\) на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (0, 4) \)

6. Учет границ:

   • При \(x = -4\) или \(x = 4\) дробь не определена.
   • При \(x = 0\): \[ \frac{0}{(0 - 4)(0 + 4)} = 0 \]

7. Запись решения: Таким образом, ответ на неравенство \(\frac{x}{x^2 - 16} \leq 0\) будет: \[ (-\infty, -4) \cup [0, 4) \]

Это все шаги для решения вашего неравенства. Если есть дополнительные вопросы или что-то остается непонятным, всегда рад помочь!