Решите неравенство x³ < = 2x

Для решения неравенства \( x^3 \leq 2x \) начнем с переноса всех членов в одну сторону:

\[ x^3 - 2x \leq 0. \]

Теперь можем вынести общий множитель:

\[ x(x^2 - 2) \leq 0. \]

Следующий шаг — выяснить, когда произведение \( x(x^2 - 2) \) меньше или равно нулю. Для этого сначала найдем нули данного выражения, решив уравнение:

1. \( x = 0 \).
2. \( x^2 - 2 = 0 \) приводит к \( x^2 = 2 \), следовательно, \( x = \sqrt{2} \) и \( x = -\sqrt{2} \).

Теперь у нас есть три критических точки: \( -\sqrt{2}, 0, \sqrt{2} \). Они делят числовую ось на четыре промежутка:

1. \( (-\infty, -\sqrt{2}) \)
2. \( (-\sqrt{2}, 0) \)
3. \( (0, \sqrt{2}) \)
4. \( (\sqrt{2}, +\infty) \)

Теперь проверим знак произведения \( x(x^2 - 2) \) на каждом из этих интервалов:

1. На intervalo \( (-\infty, -\sqrt{2}) \): выберем \( x = -2 \): \[ (-2)((-2)^2 - 2) = -2(4 - 2) = -2 \times 2 = -4 < 0. \]

2. На intervalo \( (-\sqrt{2}, 0) \): выберем \( x = -1 \): \[ (-1)((-1)^2 - 2) = -1(1 - 2) = -1 \times (-1) = 1 > 0. \]

3. На intervalo \( (0, \sqrt{2}) \): выберем \( x = 1 \): \[ 1(1^2 - 2) = 1(1 - 2) = 1 \times (-1) = -1 < 0. \]

4. На intervalo \( (\sqrt{2}, +\infty) \): выберем \( x = 2 \): \[ 2(2^2 - 2) = 2(4 - 2) = 2 \times 2 = 4 > 0. \]

Теперь мы можем составить интервалы, где \( x(x^2 - 2) \leq 0 \):

• \( (-\infty, -\sqrt{2}] \) (здесь функция отрицательна)
• \( [0, \sqrt{2}] \) (здесь функция тоже отрицательна)

Неравенство выполняется на интервалах, но также включаем точки, где выражение равно нулю. Таким образом, решение неравенства:

\[ x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [0, \sqrt{2}]. \]

Это и есть искомое решение неравенства.