(x+2)(x+5)(x-12)>0

Чтобы решить неравенство \((x+2)(x+5)(x-12)>0\), начнем с нахождения корней уравнения, приравняв его к нулю:

1. Найдем корни:
   • \(x+2=0\) ⇒ \(x=-2\)
   • \(x+5=0\) ⇒ \(x=-5\)
   • \(x-12=0\) ⇒ \(x=12\)

Таким образом, у нас есть три корня: \(x = -5, -2, 12\).

2. Теперь, мы разделим числовую прямую на интервалы относительно найденных корней:

   • \((-∞, -5)\)
   • \((-5, -2)\)
   • \((-2, 12)\)
   • \((12, +∞)\)

3. Далее, мы проверим знак выражения \((x+2)(x+5)(x-12)\) в каждом из интервалов.

• В интервале \((-∞, -5)\): Выберем, к примеру, \(x = -6\): \[ (-6+2)(-6+5)(-6-12) = (-4)(-1)(-18) = -72 < 0 \]

• В интервале \((-5, -2)\): Выберем \(x = -3\): \[ (-3+2)(-3+5)(-3-12) = (-1)(2)(-15) = 30 > 0 \]

• В интервале \((-2, 12)\): Выберем \(x = 0\): \[ (0+2)(0+5)(0-12) = (2)(5)(-12) = -120 < 0 \]

• В интервале \((12, +∞)\): Выберем \(x = 13\): \[ (13+2)(13+5)(13-12) = (15)(18)(1) = 270 > 0 \]

4. Теперь мы знаем знаки в каждом интервале:

   • \((-∞, -5)\): < 0
   • \((-5, -2)\): > 0
   • \((-2, 12)\): < 0
   • \((12, +∞)\): > 0

5. Теперь мы составим ответ на основании знаков:

Неравенство \((x+2)(x+5)(x-12) > 0\) выполняется в интервалах \((-5, -2)\) и \((12, +∞)\).

6. Следовательно, окончательный ответ будет: \[ x \in (-5, -2) \cup (12, +\infty) \]