В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 3. Точка — D середина ребра CC1 Найдите угол между плоскостями ABC и AB1B

Чтобы найти угол между плоскостями ABC и AB1B в правильной треугольной призме, давайте сначала разберемся с формой и свойствами нашей призмы.

1. Определим точки призмы:

   • Основание ABC является правильным треугольником со сторонами 2.
   • Высота боковых ребер (A1, B1, C1) равна 3.
   • Точка D — это середина ребра CC1, следовательно, ее координаты можно вычислить.

2. Координаты вершин:

   • Пусть точка A будет находиться в начальной точке: A(0, 0, 0).
   • Точка B будет находиться на расстоянии 2 от A, и угол между ними составляет 60°. Таким образом, координаты точки B будут B(2, 0, 0).
   • Точка C будет находиться на расстоянии 2 от A и B, следовательно, ее координаты: C(1, √3, 0).
   • Точки A1, B1 и C1 будут находиться на высоте 3 над соответствующими точками A, B и C. Определим их так: A1(0, 0, 3), B1(2, 0, 3) и C1(1, √3, 3).
   • Точка D будет серединой CC1, следовательно D(1, √3, 1.5).

3. Определим векторы нормалей к плоскостям:

   • Плоскость ABC: Векторы AB и AC: \[ AB = B - A = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0) \] \[ AC = C - A = (1, √3, 0) - (0, 0, 0) = (1, √3, 0) \]

     Вектор нормали к плоскости ABC можно найти с помощью векторного произведения AB и AC: \[ n_1 = AB \times AC = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & √3 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 2√3) \]

   • Плоскость AB1B: Векторы AB и AB1: \[ AB = B - A = (2, 0, 0) - (0, 0, 0) = (2, 0, 0) \] \[ AB1 = B1 - A = (2, 0, 3) - (0, 0, 0) = (2, 0, 3) \]

     Вектор нормали к плоскости AB1B можно найти с помощью векторного произведения AB и AB1: \[ n_2 = AB \times AB1 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (0, 6, 0) \]

4. Найдем угол между нормалями: Угол между двумя плоскостями можно найти через косинус угла между их нормалями: \[ \cos \theta = \frac{n_1 \cdot n_2}{|n_1| |n_2|} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ n_1 \cdot n_2 = (0, 0, 2√3) \cdot (0, 6, 0) = 0 \] Длина векторов: \[ |n_1| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (2√3)^2} = 2√3 \] \[ |n_2| = \sqrt{(0)^2 + (6)^2 + (0)^2} = 6 \]

   Теперь подставим в формулу: \[ \cos \theta = \frac{0}{2√3 \cdot 6} = 0 \] Поскольку косинус угла равен 0, это означает, что угол между плоскостями ABC и AB1B равен 90°.

Таким образом, угол между плоскостями ABC и AB1B составляет 90 градусов.