В треугольнике ABC угол C равен 90° BC = √5 тангенс B = 2 Найдите AB

В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника и определения тригонометрических функций. Дано:

• \( BC = \sqrt{5} \)
• \( \tan(B) = 2 \)

Поскольку угол C прямой, мы можем обозначить стороны следующим образом:

• \( AB \) — гипотенуза,
• \( BC \) — противолежащая сторона угла B,
• \( AC \) — прилежащая сторона угла B.

Из определения тангенса знаем, что: \[ \tan(B) = \frac{\text{противолежащая}}{\text{прилежащая}} = \frac{BC}{AC} \] Подставляя известные значения: \[ 2 = \frac{\sqrt{5}}{AC} \] Из этого уравнения можем выразить AC: \[ AC = \frac{\sqrt{5}}{2} \]

Теперь у нас есть обе стороны (BC и AC). Для нахождения гипотенузы AB, мы применим теорему Pифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим данные: \[ AB^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 + (\sqrt{5})^2 \] \[ AB^2 = \frac{5}{4} + 5 \] Приведем 5 к общему знаменателю: \[ 5 = \frac{20}{4} \] Тогда: \[ AB^2 = \frac{5}{4} + \frac{20}{4} = \frac{25}{4} \] Теперь находим AB: \[ AB = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \]

Таким образом, длина гипотенузы \( AB \) равна \( \frac{5}{2} \).