(x ^ 2 + x - 12)/(x ^ 2 + 8x + 16)

Для упрощения дроби \((x^2 + x - 12)/(x^2 + 8x + 16)\), начнем с разложения числителя и знаменателя на множители.

Шаг 1: Разложим числитель.

Числитель: \(x^2 + x - 12\).

Нам нужно найти два числа, произведение которых равно \(-12\), а сумма равна \(1\) (коэффициент при \(x\)). Это числа \(4\) и \(-3\).

Таким образом, числитель раскладывается как: \[ (x + 4)(x - 3) \]

Шаг 2: Разложим знаменатель.

Знаменатель: \(x^2 + 8x + 16\).

Это выражение является полным квадратом, так как \((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\).

Теперь мы можем написать его в виде: \[ (x + 4)(x + 4) \text{ или } (x + 4)^2 \]

Шаг 3: Подставим разложенные выражения.

Теперь подставим полученные множители в исходную дробь: \[ \frac{(x + 4)(x - 3)}{(x + 4)(x + 4)} \]

Шаг 4: Упростим дробь.

Мы видим, что множитель \( (x + 4) \) встречается и в числителе, и в знаменателе, поэтому мы можем сократить его, при условии, что \(x \neq -4\) (чтобы не делить на ноль): \[ \frac{x - 3}{x + 4}, \quad x \neq -4 \]

Ответ: Упрощенная форма дроби: \[ \frac{x - 3}{x + 4}, \quad x \neq -4 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснение по другим темам, с радостью помогу!