Решить все примеры, а не просто выбрать

Привет! Давай разберемся с твоим заданием. Тебе нужно найти, какие из данных неравенств верны при любых значениях \( x \).

1. \( 5x^2 > 2x + 3 \)
2. \( x^2 + 6 > 0 \)
3. \( x^2 + 2x \geq 0 \)
4. \( 8x - 70 < x^2 \)

Давай проверим каждое из них.

1. \( 5x^2 > 2x + 3 \)

• При \( x = 0 \) это неравенство не выполнено ( \( 0 > 3 \) – неверно).
• Значит, неравенство не верно при любых \( x \).

2. \( x^2 + 6 > 0 \)

• Квадрат числа всегда неотрицательный, и добавление 6 гарантирует положительный результат.
• Неравенство всегда верно для любых \( x \).

3. \( x^2 + 2x \geq 0 \)

• Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x \geq 0 \).

• \( x(x + 2) \geq 0 \)

• Корни уравнения: \( x = 0 \) и \( x = -2 \).

• На числовой прямой проверим промежутки: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 0) \) и \( (0, \infty) \).

• Проверим знаки на этих промежутках:

  • \( x < -2 \): оба множителя отрицательные (\( x(x + 2) > 0 \)).
  • \( -2 < x < 0 \): произведение отрицательно.
  • \( x > 0 \): произведение положительно.

• Решение: неравенство выполняется на промежутках \( x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty) \), т.е. не при всех \( x \).

4. \( 8x - 70 < x^2 \)

• Приведем к виду \( x^2 - 8x + 70 > 0 \).
• Дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 70 = 64 - 280 = -216 \), он отрицательный.
• Значит, квадратное уравнение не пересекает ось абсцисс и всегда положительно.
• Неравенство верно при любых \( x \).

Следовательно, верные неравенства при любых значениях \( x \) – это \( (2) \) и \( (4) \).

Если остались вопросы, пиши!