2x-2/x+3-x-6/x-3=18/x2-9

Давайте решим данное уравнение:

\[ \frac{2x - 2}{x + 3} - \frac{x - 6}{x - 3} = \frac{18}{x^2 - 9} \]

Во-первых, заметим, что \(x^2 - 9\) можно разложить на множители:

\[ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \]

Теперь можем переписать уравнение с использованием этого разложения:

\[ \frac{2x - 2}{x + 3} - \frac{x - 6}{x - 3} = \frac{18}{(x - 3)(x + 3)} \]

Для решения уравнения умножим обе части на \((x - 3)(x + 3)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ (2x - 2)(x - 3) - (x - 6)(x + 3) = 18 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ 2x^2 - 6x - 2x + 6 - (x^2 + 3x - 6x - 18) = 18 \]

Это упрощается до:

\[ 2x^2 - 8x + 6 - (x^2 + 3x - 6x + 18) = 18 \]

Объединим подобные слагаемые:

\[ 2x^2 - 8x + 6 - x^2 + 3x + 6 - 18 = 18 \]

Преобразуем уравнение:

\[ (2x^2 - x^2) + (-8x + 3x) + (6 + 6 - 18) = 18 \]

Это упрощается до:

\[ x^2 - 5x - 6 = 18 \]

Переносим 18 влево:

\[ x^2 - 5x - 24 = 0 \]

Теперь можем решить квадратное уравнение, используя формулу:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -24\).

Вычисляем дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2} \]

Это даёт два решения:

\[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \]

\[ x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]

Теперь проверим, подходят ли эти значения к уравнению. Значение \(x = -3\) может привести к делению на ноль, так как в начальных дробях есть \(x+3\) и \(x-3\).

Таким образом, единственное допустимое решение:

\[ \boxed{8} \]