найдите значение а²-аб+б², если а²+3аб+б²=89 и а²+АБ+б²=111
Давайте решим данную задачу шаг за шагом.
У нас есть два уравнения:
- \( a^2 + 3ab + b^2 = 89 \) (обозначим это уравнение как 1)
- \( a^2 + ab + b^2 = 111 \) (обозначим это уравнение как 2)
Наша цель - найти значение \( a^2 - ab + b^2 \).
Для этого заметим, что можем выразить \( a^2 - ab + b^2 \) через уравнения (1) и (2).
Выразим \( a^2 - ab + b^2 \): \[ a^2 - ab + b^2 = (a^2 + ab + b^2) - 2ab \] Заменим \( a^2 + ab + b^2 \) из уравнения (2): \[ a^2 - ab + b^2 = 111 - 2ab \quad (3) \]
Теперь давайте найдем значение \( ab \). Выразим \( ab \) из уравнения (1): \[ a^2 + 3ab + b^2 = 89 \quad \Rightarrow \quad ab = \frac{89 - (a^2 + b^2)}{3} \]
Теперь из уравнения (2) можем выразить \( a^2 + b^2 \) как: \[ a^2 + b^2 = 111 - ab \]
Теперь подставим это выражение в \( ab \): \[ ab = \frac{89 - (111 - ab)}{3} \] Упростим: \[ ab = \frac{89 - 111 + ab}{3} \] \[ 3ab = 89 - 111 + ab \] \[ 3ab - ab = -22 \] \[ 2ab = -22 \quad \Rightarrow \quad ab = -11 \]
Теперь, когда мы знаем \( ab \), можем подставить это значение в (3): \[ a^2 - ab + b^2 = 111 - 2(-11) \] \[ a^2 - ab + b^2 = 111 + 22 \] \[ a^2 - ab + b^2 = 133 \]
Таким образом, значение \( a^2 - ab + b^2 \) равно 133.
