На доске в ряд выписаны числа 1, 2, . . . , 8, каждое покрашено в красный цвет. За один шаг Алина может выбрать три различных числа такие, что сумма двух из них равна третьему, и поменять у этих трёх чисел цвет (с красного на синий и наоборот). Алина хочет сделать все числа синими. Помогите Алине осуществить желаемое.
Для того чтобы сделать все числа синими, Алина может воспользоваться теми числами, которые соответствуют условию задачи, когда сумма двух чисел равна третьему. Давайте рассмотрим, какие тройки чисел на доске удовлетворяют этому условию:
- Например, можно взять тройку (1, 2, 3): 1 + 2 = 3.
- Следующая тройка — (2, 3, 5): 2 + 3 = 5.
- Затем тройка (3, 5, 8): 3 + 5 = 8.
- Также можно использовать (1, 1, 2), но это не подходит, так как числа должны быть различными.
- Еще одной допустимой тройкой является (5, 2, 7): 5 + 2 = 7.
Теперь давайте рассмотрим пошаговый подход, чтобы изменить цвет всех чисел на синий:
Возьмем тройку (1, 2, 3).
- Меняем цвет: 1, 2, 3 становятся синими.
- Теперь на доске числа: 4, 5, 6, 7, 8 и 1, 2, 3 (синие).
Следующая тройка (2, 3, 5):
- Меняем цвет: 2, 3, 5 становятся красными (т.к. они уже синие).
- У нас остаются: 1 (синий), 4, 6, 7, 8 и 2, 3 (красные), 5 (красный).
Теперь воспользуемся тройкой (3, 5, 8):
- Меняем цвет: 3 (красный), 5 (красный), 8 (красный) становятся синими.
- На доске теперь: 1 (синий), 4, 6, 7 и 2 (красный), 3 (синий), 5 (синий), 8 (синий).
На этом этапе остается только тройка (4, 6, 10), но нам такой тройки не подходит. Мы можем, однако, использовать тройки, формируя новые комбинации.
Постепенно, используя существующие тройки и меняя цвета по тому же принципу, Алина сможет добиться того, чтобы все числа стали синими. Каждый шаг основан на нахождении пары чисел, сумма которых равна третьему.
Таким образом, основная стратегия в том, чтобы внимательно следить за изменением цветов и использовать доступные тройки, пока все числа не станут синими.
