Найди точку минимума функции f(x)=1+36x-x^3

Чтобы найти точку минимума функции \( f(x) = 1 + 36x - x^3 \), необходимо сначала найти производную этой функции и определить критические точки.

1. Найдем первую производную: \[ f'(x) = 36 - 3x^2 \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 36 - 3x^2 = 0 \] \[ 3x^2 = 36 \] \[ x^2 = 12 \] \[ x = \pm 2\sqrt{3} \]

3. Теперь найдем вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами: \[ f''(x) = -6x \]

4. Проверим знаки второй производной в критических точках:

   • Для \( x = 2\sqrt{3} \): \[ f''(2\sqrt{3}) = -6(2\sqrt{3}) = -12\sqrt{3} < 0 \quad (\text{максимум}) \]
   • Для \( x = -2\sqrt{3} \): \[ f''(-2\sqrt{3}) = -6(-2\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} > 0 \quad (\text{минимум}) \]

Таким образом, точка минимума функции \( f(x) \) находится в \( x = -2\sqrt{3} \).

Теперь найдем значение функции в этой точке: \[ f(-2\sqrt{3}) = 1 + 36(-2\sqrt{3}) - (-2\sqrt{3})^3 \] \[ = 1 - 72\sqrt{3} + 24\sqrt{3} \] \[ = 1 - 48\sqrt{3} \]

Таким образом, точка минимума функции \( f(x) = 1 + 36x - x^3 \) находится в \( x = -2\sqrt{3} \), а значение функции в этой точке равно \( 1 - 48\sqrt{3} \).