Решить неравенства х2-2х-8≤0
Для решения неравенства \(x^2 - 2x - 8 \leq 0\) следуйте следующему алгоритму:
Найти корни квадратного уравнения: Сначала решим соответствующее квадратное уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь, \(a = 1\), \(b = -2\), и \(c = -8\). Подставим эти значения в формулу:
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ = \frac{2 \pm 6}{2} \]
Таким образом, получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]
Найти интервалы: Теперь у нас есть корни \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -2\). Разделим числовую прямую на интервалы, соответствующие корням:
- \(-\infty < x < -2\)
- \(-2 \leq x \leq 4\)
- \(x > 4\)
Определить знак функции на интервалах: Проверим знак неравенства \(x^2 - 2x - 8\) на каждом из интервалов. Можно взять тестовые точки из каждого интервала.
Для интервала \(-\infty < x < -2\): Пусть \(x = -3\): \[ (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 \quad (\text{положительно}) \]
Для интервала \(-2 \leq x \leq 4\): Пусть \(x = 0\): \[ (0)^2 - 2(0) - 8 = -8 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для интервала \(x > 4\): Пусть \(x = 5\): \[ (5)^2 - 2(5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 \quad (\text{положительно}) \]
Записать решение неравенства: Неравенство \(x^2 - 2x - 8 \leq 0\) выполняется на интервале от \(-2\) до \(4\) включительно.
Таким образом, окончательное решение:
\[ [-2; 4] \]
Это означает, что все значения \(x\) в пределах от \(-2\) до \(4\) включительно удовлетворяют неравенству.
