Решить неравенства х2-2х-8≤0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 2x - 8 \leq 0\), следуем следующим шагам:

1. Найдем корни равенства: Для этого решим уравнение \(x^2 - 2x - 8 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D = b^2 - 4ac\).

   В нашем случае:

   • \(a = 1\)
   • \(b = -2\)
   • \(c = -8\)

   Вычислим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

   Теперь подставим в формулу корней: \[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2 \]

   Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -2\).

2. Определим знаки функции: Рассмотрим промежутки на числовой прямой, исходя из найденных корней. Мы имеем три промежутка:

   • \((- \infty, -2)\)
   • \([-2, 4]\)
   • \((4, +\infty)\)

   Проверим знак выражения \(x^2 - 2x - 8\) в каждом из промежутков, подставляя тестовые значения:

   • Для \(x = -3\) (в промежутке \((- \infty, -2)\)): \[ (-3)^2 - 2(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0 \]
   • Для \(x = 0\) (в промежутке \([-2, 4]\)): \[ 0^2 - 2 \cdot 0 - 8 = -8 < 0 \]
   • Для \(x = 5\) (в промежутке \((4, +\infty)\)): \[ 5^2 - 2 \cdot 5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 \]

   Таким образом, функция \(x^2 - 2x - 8\) принимает отрицательные значения на промежутке \([-2, 4]\).

3. Записываем ответ: Так как неравенство включает равно, то решение: \[ [-2, 4] \]

Это и есть ответ на ваше неравенство!