В прямоугольнике угол между диагоналями равен 60°, меньшая сторона равна 38 см. Чему равна диагональ прямоугольника?

Обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\), где \(a = 38\) см — меньшая сторона, а \(b\) — большая сторона. Угол между диагоналями равен 60°.

Диагонали прямоугольника равны, и их длина \(d\) можно вычислить по формуле:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Сначала найдем тангенс угла между диагоналями. Угол между диагоналями \(d_1\) и \(d_2\) можно выразить через стороны прямоугольника:

\[ \tan(\alpha) = \frac{b}{a} \]

где \(\alpha\) — угол между диагоналями. Мы знаем, что \(\alpha = 60^\circ\). Тогда

\[ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \]

Теперь мы имеем уравнение:

\[ \sqrt{3} = \frac{b}{38} \]

Отсюда можно выразить \(b\):

\[ b = 38 \cdot \sqrt{3} \]

Теперь подставим значения \(a\) и \(b\) в формулу для диагонали:

\[ d = \sqrt{38^2 + (38 \sqrt{3})^2} \]

Вычислим \(d\):

\[ d = \sqrt{1444 + 38^2 \cdot 3} \] \[ d = \sqrt{1444 + 3 \cdot 1444} \] \[ d = \sqrt{1444 \cdot 4} \] \[ d = \sqrt{5776} \] \[ d = 76 \text{ см} \]

Таким образом, диагональ прямоугольника равна 76 см.