(3x-2)×(5-x)×(x+1)×(2-x)<0

Чтобы решить неравенство \((3x - 2) \times (5 - x) \times (x + 1) \times (2 - x) < 0\), нужно найти значения \(x\), при которых произведение выражений меньше нуля. Давайте разберем это пошагово.

1. Найдем нули каждого множителя:

   • \(3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\)
   • \(5 - x = 0 \Rightarrow x = 5\)
   • \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
   • \(2 - x = 0 \Rightarrow x = 2\)

2. Определим критические точки: Мы нашли четыре критические точки: \(x = -1\), \(x = \frac{2}{3}\), \(x = 2\) и \(x = 5\).

3. Разобьем числовую прямую на интервалы: Интервалы, которые мы получим: \((-∞, -1)\), \((-1, \frac{2}{3})\), \((\frac{2}{3}, 2)\), \((2, 5)\) и \((5, +∞)\).

4. Проверим знак произведения на каждом интервале:

   • Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \[ (3(-2) - 2) \times (5 - (-2)) \times (-2 + 1) \times (2 - (-2)) = (-6 - 2) \times (7) \times (-1) \times (4) > 0 \]
   • Для \(-1 < x < \frac{2}{3}\) (например, \(x = 0\)): \[ (3(0) - 2) \times (5 - 0) \times (0 + 1) \times (2 - 0) = (-2) \times (5) \times (1) \times (2) < 0 \]
   • Для \(\frac{2}{3} < x < 2\) (например, \(x = 1\)): \[ (3(1) - 2) \times (5 - 1) \times (1 + 1) \times (2 - 1) = (1) \times (4) \times (2) \times (1) > 0 \]
   • Для \(2 < x < 5\) (например, \(x = 3\)): \[ (3(3) - 2) \times (5 - 3) \times (3 + 1) \times (2 - 3) = (7) \times (2) \times (4) \times (-1) < 0 \]
   • Для \(x > 5\) (например, \(x = 6\)): \[ (3(6) - 2) \times (5 - 6) \times (6 + 1) \times (2 - 6) = (16) \times (-1) \times (7) \times (-4) > 0 \]

5. Подведем итоги: Мы видим, что произведение будет меньше нуля на интервалах:

   • \( (-1, \frac{2}{3}) \)
   • \( (2, 5) \)

Таким образом, решение неравенства \( (3x - 2) \times (5 - x) \times (x + 1) \times (2 - x) < 0 \) записывается в виде: \[ x \in (-1, \frac{2}{3}) \cup (2, 5) \]

Если вам нужна дополнительная помощь или разъяснения, не стесняйтесь обращаться!