(2x+5)×(4x+3)×(7-2x)×(x-3)<0

Чтобы решить неравенство \((2x+5)×(4x+3)×(7-2x)×(x-3)<0\), начнем с определения точек, в которых каждый из множителей равен нулю. Это поможет нам определить интервалы, на которых необходимо проверять знак произведения.

1. Найдем корни каждого множителя:

   • \(2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2}\)
   • \(4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}\)
   • \(7 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{7}{2}\)
   • \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

2. Теперь нам известны критические точки:

   • \(x = -\frac{5}{2}\)
   • \(x = -\frac{3}{4}\)
   • \(x = \frac{7}{2}\)
   • \(x = 3\)

3. Построим числовую прямую и отметим критические точки:

   • Можно нарисовать прямую с точками \(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{4}, 3, \frac{7}{2}\). Упорядочим их от меньшего к большему: \(-\frac{5}{2} < -\frac{3}{4} < 3 < \frac{7}{2}\).

4. Проверим знаки на интервалах, разделенных этими точками:

   • Интервал \((-\infty, -\frac{5}{2})\)
   • Интервал \((- \frac{5}{2}, -\frac{3}{4})\)
   • Интервал \((- \frac{3}{4}, 3)\)
   • Интервал \((3, \frac{7}{2})\)
   • Интервал \((\frac{7}{2}, +\infty)\)

5. Определим знак произведения на каждом интервале:

   • Для интервала \((-\infty, -\frac{5}{2})\): Все множители отрицательные, произведение положительное.
   • Для интервала \((- \frac{5}{2}, -\frac{3}{4})\): Один положительный, три отрицательных, произведение отрицательное.
   • Для интервала \((- \frac{3}{4}, 3)\): Два положительных, два отрицательных, произведение положительное.
   • Для интервала \((3, \frac{7}{2})\): Три положительных, один отрицательный, произведение отрицательное.
   • Для интервала \((\frac{7}{2}, +\infty)\): Все множители положительные, произведение положительное.

6. Теперь запишем, где произведение меньше нуля:

   • Это происходит на интервалах \((- \frac{5}{2}, -\frac{3}{4})\) и \((3, \frac{7}{2})\).

7. Итог: Неравенство \((2x+5)×(4x+3)×(7-2x)×(x-3)<0\) выполняется для \(x \in \left(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{4}\right) \cup (3, \frac{7}{2})\).

Таким образом, решение данного неравенства включает все значения \(x\), находящиеся в этих интервалах. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!