На площині задано точки A(0; -2) , B (4;2) і C ( 4; -2). В початку координат прикладено сили OA(вектор) ,OB(вектор) і OC(вектор). Побудувати їх рівнодійну OM (вектор),знайти її величину і проекції на осі координат. виразити сили OA (вектор),ОВ(вектор),ОС(вектор) і OM(вектор) через одиничні вектори i (вектор) і j(вектор) координатних осей.
Для решения задачи, давайте сначала выразим векторы OA, OB и OC через единичные векторы i и j.
Векторы:
Вектор \( \vec{OA} \) от начала координат O(0; 0) до точки A(0; -2): \[ \vec{OA} = 0 \cdot \vec{i} - 2 \cdot \vec{j} = -2\vec{j} \]
Вектор \( \vec{OB} \) от начала координат O(0; 0) до точки B(4; 2): \[ \vec{OB} = 4 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{j} = 4\vec{i} + 2\vec{j} \]
Вектор \( \vec{OC} \) от начала координат O(0; 0) до точки C(4; -2): \[ \vec{OC} = 4 \cdot \vec{i} - 2 \cdot \vec{j} = 4\vec{i} - 2\vec{j} \]
Нахождение равнодействующей \( \vec{OM} \): Чтобы найти равнодействующую, нужно сложить векторы \( \vec{OA} \), \( \vec{OB} \) и \( \vec{OC} \): \[ \vec{OM} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = (-2\vec{j}) + (4\vec{i} + 2\vec{j}) + (4\vec{i} - 2\vec{j}) \]
Сложим все компоненты вместе: \[ \vec{OM} = (4\vec{i} + 4\vec{i}) + (-2\vec{j} + 2\vec{j} - 2\vec{j}) = 8\vec{i} - 2\vec{j} \]
Величина равнодействующей: Чтобы найти величину вектора \( \vec{OM} \), используем формулу для длины вектора: \[ |\vec{OM}| = \sqrt{(x^2 + y^2)} = \sqrt{(8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \]
Проекции на оси координат: Проекции вектора \( \vec{OM} \) на ось x и ось y:
- Проекция на ось x: \( 8 \)
- Проекция на ось y: \( -2 \)
Итак, все векторы и равнодействующая выражены через единичные векторы, их величина и проекции определены. Результаты следующие:
- \( \vec{OA} = -2\vec{j} \)
- \( \vec{OB} = 4\vec{i} + 2\vec{j} \)
- \( \vec{OC} = 4\vec{i} - 2\vec{j} \)
- \( \vec{OM} = 8\vec{i} - 2\vec{j} \)
- Величина \( |\vec{OM}| = 2\sqrt{17} \)
- Проекции: \( 8 \) на ось x и \( -2 \) на ось y.
