Даны векторы p a b c 2 , q a b , r b c 2 3 . Разложить вектор s a b c по векторам p , q и r .
Чтобы разложить вектор \( s = a + b + c \) по векторам \( p = a + b - 2c \), \( q = -a + b \) и \( r = b + 2c + 3 \), нам нужно выразить вектор \( s \) как линейную комбинацию векторов \( p \), \( q \) и \( r \). То есть, мы хотим найти такие скаляры \( k_1 \), \( k_2 \) и \( k_3 \), что:
\[ s = k_1 p + k_2 q + k_3 r. \]
Подставим выражения для \( p \), \( q \) и \( r \):
\[ s = k_1 (a + b - 2c) + k_2 (-a + b) + k_3 (b + 2c + 3). \]
Теперь раскроем скобки:
\[ s = k_1 a + k_1 b - 2k_1 c - k_2 a + k_2 b + k_3 b + 2k_3 c + 3k_3. \]
Соберем все одноименные векторы:
\[ s = (k_1 - k_2)a + (k_1 + k_2 + k_3)b + (-2k_1 + 2k_3)c + 3k_3. \]
Теперь нам нужно сравнить это с вектором \( s = a + b + c \). Мы можем установить равенство компонент:
- Для компоненты \( a \):
\[ k_1 - k_2 = 1. \]
- Для компоненты \( b \):
\[ k_1 + k_2 + k_3 = 1. \]
- Для компоненты \( c \):
\[ -2k_1 + 2k_3 = 1. \]
- Для свободного члена:
\[ 3k_3 = 0. \]
Теперь решим систему уравнений.
Из уравнения \( 3k_3 = 0 \) следует, что \( k_3 = 0 \).
Подставим \( k_3 = 0 \) в остальные уравнения:
- Уравнение 1: \( k_1 - k_2 = 1 \).
- Уравнение 2: \( k_1 + k_2 = 1 \).
Решим эти два уравнения:
Из уравнения 1 \( k_1 = k_2 + 1 \). Подставим это в уравнение 2:
\[ (k_2 + 1) + k_2 = 1 \Rightarrow 2k_2 + 1 = 1 \Rightarrow 2k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = 0. \]
Затем, подставим \( k_2 = 0 \) в уравнение 1:
\[ k_1 - 0 = 1 \Rightarrow k_1 = 1. \]
Таким образом, мы получили:
\[ k_1 = 1, \quad k_2 = 0, \quad k_3 = 0. \]
Итак, вектор \( s \) раскладывается по векторам \( p \), \( q \) и \( r \) следующим образом:
\[ s = 1 \cdot p + 0 \cdot q + 0 \cdot r. \]
Это означает, что \( s = p \).
